Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ , $[0, 81]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 81]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ .

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Paso 2.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 81]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- \frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{9} x$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 81)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(0, 81)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ .

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Paso 4.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{1}{9}$

Paso 4.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{9}$

Paso 4.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 4.1.3

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} = 0$

Paso 4.1.4

Resuelve $x$

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Paso 4.1.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.4.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x = 0^{2}$

Paso 4.1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x = 0$

Paso 4.1.4.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1.4.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 4.1.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.4.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 4.1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 81)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 81)$ porque la derivada es continua en $(0, 81)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 81]$ y diferenciable en $(0, 81)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 81]$ y diferenciable en $(0, 81)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 81]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Paso 7.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0 - \frac{1}{9} \cdot 0$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $- \frac{1}{9} \cdot 0$ .

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Paso 7.2.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 (\frac{1}{9})$

Paso 7.2.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{9}$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 7.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Resuelve $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (81) + f (0))}{- (81 + 0)}$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{1}{9}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{(0) - (0)}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 + 0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.4.1

Cancela el factor común de $0$ y $(81) - (0)$ .

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Paso 8.1.4.1.1

Reescribe $81$ como $- 1 (- 81)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 81) - (0)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.1.3

Factoriza $81$ de $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.4.1.4.1

Factoriza $81$ de $- 1 (- 81 + 0)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 \cdot 0}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 \cdot - 1} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{1} + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.4.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0 + \frac{1}{9}$

Paso 8.1.5

Suma $0$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$

Paso 8.2.2

Como $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 9$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 8.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 8.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 8.2.5

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 8.2.6

El MCM de $2, 9$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 3 \cdot 3$

Paso 8.2.7

Multiplica $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 8.2.7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \cdot 3$

Paso 8.2.7.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$18$

Paso 8.2.8

El MCM de $x^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.2.9

El MCM para $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ es la parte numérica $18$ multiplicada por la parte variable.

$18 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ por $18 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ por $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$9 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.3

Combina $9$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$9 = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 8.3.3.1.1

Factoriza $9$ de $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 8.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 8.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$9 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 8.4.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}$

Paso 8.4.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 8.4.4

Simplifica el exponente.

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Paso 8.4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.4.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 8.4.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 8.4.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 8.4.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 8.4.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Paso 8.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.4.2.1

Simplifica ${(\frac{9}{2})}^{2}$ .

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Paso 8.4.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$x = \frac{9^{2}}{2^{2}}$

Paso 8.4.4.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{81}{2^{2}}$

Paso 8.4.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{81}{4}$

Paso 9

Se halla una tangente en $x = \frac{81}{4}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 81$ .

Hay una tangente en $x = \frac{81}{4}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 81$ .

Paso 10