Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = e^{- 2 x}$ es continua.

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Paso 3.1.2.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 2)$ .

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Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 2)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 2)$ porque la derivada es continua en $(0, 2)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 2]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Paso 7.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[0, 2]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Paso 9

Resuelve $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Paso 9.1

Simplifica $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

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Paso 9.1.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $e^{4}$ .

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Paso 9.1.1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ por $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Paso 9.1.1.2

Combinar.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Paso 9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $e^{4}$ .

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Paso 9.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $e^{4} \cdot (1)$ como ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4

Simplifica.

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Paso 9.1.4.4.1

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4.3

Reescribe $e^{2} \cdot 1$ como ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4.5

Simplifica.

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Paso 9.1.4.4.5.1

Multiplica $e$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.4.4.5.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.1

Factoriza $e^{4}$ de $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Paso 9.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Paso 9.1.5.3

Suma $2$ y $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Paso 9.1.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Paso 9.2

Divide cada término en $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 9.2.3.2

Combinar.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Paso 9.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.3.3.1

Multiplica $1 + e^{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Paso 9.2.3.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Paso 9.2.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Paso 9.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Paso 9.4

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 9.5

No hay soluciones para $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

No hay solución

Paso 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Paso 11