Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[- 2, 2]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 6 = 0$

Paso 2.1.2

Resuelve $x$

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Paso 2.1.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 6$

Paso 2.1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Paso 2.1.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Paso 2.1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{6}$

Paso 2.1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{6}$

Paso 2.1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 2.1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6

Simplifica.

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Paso 3.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 3.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.1.6.3.2.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(- 2, 2)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(- 2, 2)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Establece el denominador en $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Paso 4.1.2

Resuelve $x$

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Paso 4.1.2.1

Establece $x^{2} + 6$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Paso 4.1.2.2

Resuelve $x$

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 6$

Paso 4.1.2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Paso 4.1.2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Paso 4.1.2.2.3.1

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Paso 4.1.2.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Paso 4.1.2.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Paso 4.1.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{6}$

Paso 4.1.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{6}$

Paso 4.1.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 4.1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(- 2, 2)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(- 2, 2)$ porque la derivada es continua en $(- 2, 2)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[- 2, 2]$ y diferenciable en $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ y diferenciable en $(- 2, 2)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[- 2, 2]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Paso 7.2.2.2

Suma $4$ y $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Paso 8

Resuelve $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Paso 8.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Paso 8.1.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Paso 8.1.4

Divide $0$ por $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Paso 8.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Paso 8.1.6

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Paso 8.1.7

Divide $0$ por $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Paso 8.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Paso 8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Paso 8.4

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 8.4.1

Divide cada término en $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Paso 8.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x = 0$

Paso 9

Se halla una tangente en $x = 0$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 2$ y $b = 2$ .

Hay una tangente en $x = 0$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = - 2$ y $b = 2$ .

Paso 10