Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ es continua.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[1, 1]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Paso 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $No hay solución$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $No hay solución$ porque la derivada es continua en $No hay solución$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[1, 1]$ y diferenciable en $No hay solución$ .

No hay solución

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[1, 1]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Paso 7.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$f (1) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 8

La ecuación tiene una fracción indefinida.

Indefinida

Paso 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Paso 10