Cálculo Ejemplos

$y = (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Paso 3.2.6

Como $\frac{1}{3.5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3.5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Paso 3.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Paso 3.2.8

Multiplica $\frac{1}{3.5}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Paso 3.2.9

Como $3.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3.5}{x}$ con respecto a $x$ es $3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 3.2.10

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 3.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 (- x^{- 2}))$

Paso 3.2.12

Multiplica $- 1$ por $3.5$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 x^{- 2})$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \frac{x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $2$ y $\frac{x}{3.5}$ .

$\frac{2 x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.2

Combina $\frac{2 x}{3.5}$ y $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.7

Combina $2$ y $\frac{3.5}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{2 \cdot 3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.8

Multiplica $2$ por $3.5$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.9

Combina $\frac{7}{x}$ y $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.10.2

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.11

Combina $- 3.5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{- 3.5}{x^{2}})$

Paso 3.4.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}})$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$