Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- 1})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} - 1$ de $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} - 1$ de $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18

Simplifica.

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Paso 1.2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 6 x^{2} - 2 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x^{2} = 2$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 6 x^{2} = 2$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 6 x^{2} = 2$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 6$ .

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Paso 2.3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Paso 2.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Paso 2.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Paso 2.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{- 3}$

Paso 2.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 2.3.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión