Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} + 15 x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia.

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Paso 1.2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.4.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Paso 1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.8.2

Factoriza $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

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Paso 1.2.8.2.1

Factoriza $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.8.2.2

Factoriza $x^{2} + 5$ de $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.8.2.3

Factoriza $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Paso 1.2.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.9.1

Factoriza $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.9.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.9.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.12

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.13.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.16

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Simplifica.

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Paso 1.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.17.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.17.4.1.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.1.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.2

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.3

Expande $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.4.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.5

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.1.6

Multiplica $30$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.4.2

Suma $30 x^{3}$ y $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.17.4.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.5.3

Suma $2$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.1.6

Multiplica $15$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ .

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Paso 1.2.17.4.2.1

Resta $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.2.2

Suma $50 x^{3} + 150 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4.3

Resta $60 x^{3}$ de $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.5

Factoriza $10 x$ de $- 10 x^{3} + 150 x$ .

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Paso 1.2.17.5.1

Factoriza $10 x$ de $- 10 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.5.2

Factoriza $10 x$ de $150 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.5.3

Factoriza $10 x$ de $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.7

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.9

Reescribe $- (x^{2} - 15)$ como $- 1 (x^{2} - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.2.17.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x^{2} - 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x^{2} - 15$ igual a $0$ .

$x^{2} - 15 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 15 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 15$

Paso 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Paso 2.3.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{15}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{15}$

Paso 2.3.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $10 x (x^{2} - 15) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$f (0) = \frac{0}{5}$

Paso 3.1.2.3

Divide $0$ por $5$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\sqrt{15}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{15}$ en la expresión.

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.3.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.2.2.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Paso 3.3.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $15$ y $5$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común de $15$ y $20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.1

Factoriza $5$ de $15 \sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

Paso 3.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Paso 3.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Paso 3.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt{15}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ es $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Paso 3.5

Sustituye $- \sqrt{15}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{15}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.4

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.5

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.5.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.5.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica ${\sqrt{15}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 3.5.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Paso 3.5.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Paso 3.5.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Paso 3.5.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Paso 3.5.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Paso 3.5.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Paso 3.5.2.2.5

Suma $15$ y $5$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

Paso 3.5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 15$ y $20$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 15 \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

Paso 3.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt{15}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ es $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{15})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.97298334$ en la expresión.

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $10$ por $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 39.72983346$ por ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 3.97298334$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $15.78459666$ y $5$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $20.78459666$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Divide $- 31.171895$ por $8978.93451047$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.00347166$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $0.00347166$ .

$0.00347166$

Paso 5.3

En $- 3.97298334$ , la segunda derivada es $0.00347166$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \sqrt{15})$ .

Incremento en $(- \infty, - \sqrt{15})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt{15}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.93649167$ en la expresión.

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $10$ por $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 19.36491673$ por ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.93649167$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $3.75$ y $5$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $8.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $217.85531322$ por $669.921875$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.3251951$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.3251951$ .

$- 0.3251951$

Paso 6.3

En $- 1.93649167$ , la segunda derivada es $- 0.3251951$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \sqrt{15}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \sqrt{15}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{15})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.93649167$ en la expresión.

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $10$ por $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $19.36491673$ por ${1.93649167}^{2} - 15$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $1.93649167$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $3.75$ y $5$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $8.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Divide $- 217.85531322$ por $669.921875$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.3251951$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.3251951$ .

$0.3251951$

Paso 7.3

En $1.93649167$ , la segunda derivada es $0.3251951$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \sqrt{15})$ .

Incremento en $(0, \sqrt{15})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{15}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.97298334$ en la expresión.

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $10$ por $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $39.72983346$ por ${3.97298334}^{2} - 15$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $3.97298334$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $15.78459666$ y $5$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $20.78459666$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Divide $31.171895$ por $8978.93451047$ .

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.00347166$ .

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.00347166$ .

$- 0.00347166$

Paso 8.3

En $3.97298334$ , la segunda derivada es $- 0.00347166$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\sqrt{15}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt{15}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Paso 10