Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia.

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Paso 1.2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.2.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.2.4.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.4.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 1.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9

Simplifica.

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Paso 1.2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.9.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.2

Expande $(- 2 x - 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.9.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.9.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.9.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.9.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.3.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.9.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.9.2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.2.3

Suma $0$ y $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 1.2.9.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Paso 1.2.9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.9.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.2.9.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 1.2.9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión