Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 7) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 7) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (7 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 14 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 1.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{14 x + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2.2

Suma $14 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{14 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}})$

Paso 1.2.2

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}})$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 7)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 7)}^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 7$ de $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 7$ de $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{{(x^{2} + 7)}^{4}})$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 7$ de ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 14 (\frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}})$

Paso 1.2.16

Combina $14$ y $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Simplifica.

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Paso 1.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $14$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 14 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.2.2

Multiplica $14$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{2} + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3

Factoriza $14$ de $- 42 x^{2} + 98$ .

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Paso 1.2.17.3.1

Factoriza $14$ de $- 42 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 98}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3.2

Factoriza $14$ de $98$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.3.3

Factoriza $14$ de $14 (- 3 x^{2}) + 14 (7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.5

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 7)$ como $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.2.17.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{14 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$14 (3 x^{2} - 7) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $14$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $14 (3 x^{2} - 7) = 0$ por $14$ .

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 (3 x^{2} - 7)}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 7$ por $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $14$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 7$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Paso 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Paso 2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{7}{3}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Paso 2.3.5.4.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{3^{2}}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{21}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 (7)}{9}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.1.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Paso 3.1.2.2.4

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.4.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Paso 3.1.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.1.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.1.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Paso 3.1.2.2.5

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.6

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.2.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.8.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Paso 3.1.2.2.8.2

Suma $7$ y $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Paso 3.1.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.4.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Paso 3.1.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Paso 3.1.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.1.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ es $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{3^{2}})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{21}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (7)}{9})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1 (\frac{7}{3})}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.1.7

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Paso 3.3.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Paso 3.3.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{21}{9} + 7}$

Paso 3.3.2.2.6

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.6.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Paso 3.3.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.3.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Paso 3.3.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7}$

Paso 3.3.2.2.7

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.8

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.2.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.10.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7 + 21}{3}}$

Paso 3.3.2.2.10.2

Suma $7$ y $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{28}$

Paso 3.3.2.4

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Factoriza $7$ de $28$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 (4)}$

Paso 3.3.2.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7 \cdot 4}$

Paso 3.3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 3.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{4}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$ es $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.62752523$ en la expresión.

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $2.64883837$ y $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $9.64883837$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $14$ por $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Paso 5.2.3.2

Divide $13.25121194$ por $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.0147513$ .

$f'' (- 1.62752523) = - 0.0147513$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Paso 5.3

En $- 1.62752523$ , la segunda derivada es $- 0.0147513$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{14 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $7$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $7$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{7^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{14 \cdot - 7}{343}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $14$ por $- 7$ .

$f'' (0) = - \frac{- 98}{343}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 98$ y $343$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $49$ de $- 98$ .

$f'' (0) = - \frac{49 (- 2)}{343}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $49$ de $343$ .

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{49 \cdot - 2}{49 \cdot 7}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{- 2}{7}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{2}{7}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7}$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.\overline{285714}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.62752523$ en la expresión.

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $1.62752523$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $2.64883837$ y $7$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $9.64883837$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{14 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $14$ por $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = - \frac{13.25121194}{898.30764509}$

Paso 7.2.3.2

Divide $13.25121194$ por $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = - 1 \cdot 0.0147513$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.0147513$ .

$f'' (1.62752523) = - 0.0147513$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.0147513$ .

$- 0.0147513$

Paso 7.3

En $1.62752523$ , la segunda derivada es $- 0.0147513$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{1}{4})$

Paso 9