Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.4.5.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7

Simplifica.

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Paso 1.1.5.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.2.1.8.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.2.2

Suma $- 4 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.2.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.3

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4

Cancela el factor común de $- x + 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 1.1.5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4.5

Factoriza $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.5.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.5.4.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.5.4.6.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.5.4.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.5.2

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10.4

Combina $- 2$ y $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.11.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.3

Factoriza $2$ de $- 4 x - 2$ .

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Paso 1.2.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.7

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.11.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Paso 1.2.11.10

Multiplica $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (2 x + 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (2 x + 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $2 (2 x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.4.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 3.1.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Paso 3.1.2.2.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Paso 3.1.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Paso 3.1.2.2.11

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Paso 3.1.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ es $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.6$ en la expresión.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Paso 5.2.1.2

Suma $- 1.2$ y $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Resta $1$ de $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $- 1.6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Paso 5.2.3.2

Divide $- 0.4$ por $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Paso 5.3

En $- 0.6$ , la segunda derivada es $- 0.06103515$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.4$ en la expresión.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 0.8$ y $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $1$ de $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $- 1.4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Paso 6.2.3.2

Divide $0.4$ por $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.10412328$ .

$0.10412328$

Paso 6.3

En $- 0.4$ , la segunda derivada es $0.10412328$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Paso 8