Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Paso 1.1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Paso 1.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ y $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5.4.2

Multiplica $x^{2} - 10 x + 25$ por $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Paso 1.1.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 10 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.5.7

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.5.9

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.5.10

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Paso 1.1.5.11

Suma $2 x - 10$ y $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Paso 1.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Paso 1.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.6

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Paso 1.1.6.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Paso 1.1.6.4.8

Resta $10 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Paso 1.1.6.4.9

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Paso 1.1.6.4.10

Resta $14 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Paso 1.1.6.4.11

Suma $25$ y $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 24 x + 45$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Como $45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $45$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6 x - 24$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 24 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Paso 2.2

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 24$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 24$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 24$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $24$ por $6$ .

$x = 4$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $4$ en $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Resta $5$ de $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Paso 3.1.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $(4) - 2$ por $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Paso 3.1.2.4

Resta $2$ de $4$ .

$f (4) = 2$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ es $(4, 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, 2)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.9$ en la expresión.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Paso 5.2.2

Resta $24$ de $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 5.3

En $3.9$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 4)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 4)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.1$ en la expresión.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Paso 6.2.2

Resta $24$ de $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 6.3

En $4.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Paso 8