Cálculo Ejemplos

$8 y + \sin (y) = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (8 y + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 y + \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 y' + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$8 y' + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$8 y' + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$8 y' + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 y' + \cos (y) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\cos (y) y' + 8 y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (y) y' + 8 y' = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $\cos (y) y' + 8 y'$ .

$y' \cos (y) + 8 y' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $y' \cos (y) + 8 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) + 8 y' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $8 y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' \cdot 8 = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cos (y)) + y' \cdot 8$ .

$y' (\cos (y) + 8) = 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (\cos (y) + 8) = 1$ por $\cos (y) + 8$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (\cos (y) + 8) = 1$ por $\cos (y) + 8$ .

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $\cos (y) + 8$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$