Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{x^{2} - 4}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 4})$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Paso 1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 1.1.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Combina $- 16$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.5.3

Combina $x$ y $\frac{16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Mueve $16$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{16 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - x (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) - 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} - 4$ de $- 2 x ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} - 4$ de $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 1.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} - 4) (x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} - 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.16

Combina $- 16$ y $\frac{- 3 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.2.18.2.2

Multiplica $16$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{- 48 x^{2} - 64}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 48 x^{2} - 64 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$- 48 x^{2} = 64$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- 48 x^{2} = 64$ por $- 48$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- 48 x^{2} = 64$ por $- 48$ .

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 48 x^{2}}{- 48} = \frac{64}{- 48}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{- 48}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1

Cancela el factor común de $64$ y $- 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1.1

Factoriza $16$ de $64$ .

$x^{2} = \frac{16 (4)}{- 48}$

Paso 2.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1.2.1

Factoriza $16$ de $- 48$ .

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Paso 2.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot - 3}$

Paso 2.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Paso 2.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Paso 2.3.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Paso 2.3.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 2.3.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.7.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.4.8

Combina $i$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 2.3.4.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión