Cálculo Ejemplos

$x e^{x}$

Paso 1

Escribe $x e^{x}$ como una función.

$f (x) = x e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.2

Reordena los términos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.2.4.3

Reordena los factores en $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2$ en $f (x) = x e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = x e^{x}$ es $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.2

Combina $- 2.1$ y $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.6

Divide $2.1$ por $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Paso 6.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Paso 6.2.1.9

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Paso 6.2.2

Suma $- 0.25715849$ y $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $- 0.01224564$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.9$ en la expresión.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.2

Combina $- 1.9$ y $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.6

Divide $1.9$ por $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Paso 7.2.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Paso 7.2.1.9

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Paso 7.2.2

Suma $- 0.28418037$ y $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.01495686$ .

$0.01495686$

Paso 7.3

En $- 1.9$ , la segunda derivada es $0.01495686$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2, \infty)$ .

Incremento en $(- 2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Paso 9