Cálculo Ejemplos

$x^{4} - 5 x^{2}$

Paso 1

Escribe $x^{4} - 5 x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 5 (2 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 10 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 10$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 10$ .

$12 x^{2} - 10$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 10 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 10 = 0$

Paso 3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 10$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 10$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 10$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{10}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{10}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{10}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x^{2} = \frac{2 (5)}{12}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{5}{6}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{6}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 3.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 3.5.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 3.5.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 3.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 3.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 3.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{6}}{6}$

Paso 3.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 6}}{6}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30}}{6}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{30}}{6}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{\sqrt{30}}{6}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{\sqrt{30}}{6}$ en $f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{30}}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{4} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{{\sqrt{30}}^{4}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{30}}^{4}$ como $30^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{4}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{4}{2}}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2}{1}}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{2}}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{900}{6^{4}} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{900}{1296} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $900$ y $1296$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Factoriza $36$ de $900$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 (25)}{1296} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $36$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 \cdot 25}{36 \cdot 36} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 \cdot 25}{36 \cdot 36} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30}{6^{2}}$

Paso 4.1.2.1.7

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 (\frac{30}{36})$

Paso 4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $30$ y $36$ .

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Paso 4.1.2.1.8.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 (5)}{36}$

Paso 4.1.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.8.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 6}$

Paso 4.1.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 6}$

Paso 4.1.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 (\frac{5}{6})$

Paso 4.1.2.1.9

Multiplica $- 5 (\frac{5}{6})$ .

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Paso 4.1.2.1.9.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} + \frac{- 5 \cdot 5}{6}$

Paso 4.1.2.1.9.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} + \frac{- 25}{6}$

Paso 4.1.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25}{6}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{25}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{25}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25 \cdot 6}{6 \cdot 6}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25 \cdot 6}{36}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 6}{36}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 25$ por $6$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25 - 150}{36}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $150$ de $25$ .

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{- 125}{36}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{30}}{6}) = - \frac{125}{36}$

Paso 4.1.2.7

La respuesta final es $- \frac{125}{36}$ .

$- \frac{125}{36}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{30}}{6}$ en $f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$ es $(\frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ en $f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{4} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{4} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{30}}^{4}}{6^{4}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = 1 (\frac{{\sqrt{30}}^{4}}{6^{4}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{30}}^{4}}{6^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{{\sqrt{30}}^{4}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Reescribe ${\sqrt{30}}^{4}$ como $30^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{4}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{4}{2}}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{\frac{2}{1}}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{30^{2}}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{900}{6^{4}} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{900}{1296} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6

Cancela el factor común de $900$ y $1296$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.6.1

Factoriza $36$ de $900$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 (25)}{1296} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.6.2.1

Factoriza $36$ de $1296$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 \cdot 25}{36 \cdot 36} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{36 \cdot 25}{36 \cdot 36} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 {(- \frac{\sqrt{30}}{6})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2})$

Paso 4.3.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{30}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{6^{2}}))$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 (1 (\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{6^{2}}))$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica $\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10

Reescribe ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

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Paso 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{30}{6^{2}}$

Paso 4.3.2.1.11

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 (\frac{30}{36})$

Paso 4.3.2.1.12

Cancela el factor común de $30$ y $36$ .

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Paso 4.3.2.1.12.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 (5)}{36}$

Paso 4.3.2.1.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.12.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 6}$

Paso 4.3.2.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 6}$

Paso 4.3.2.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - 5 (\frac{5}{6})$

Paso 4.3.2.1.13

Multiplica $- 5 (\frac{5}{6})$ .

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Paso 4.3.2.1.13.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} + \frac{- 5 \cdot 5}{6}$

Paso 4.3.2.1.13.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} + \frac{- 25}{6}$

Paso 4.3.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25}{6}$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- \frac{25}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiplica $\frac{25}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25 \cdot 6}{6 \cdot 6}$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25}{36} - \frac{25 \cdot 6}{36}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 6}{36}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $- 25$ por $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{25 - 150}{36}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $150$ de $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = \frac{- 125}{36}$

Paso 4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{30}}{6}) = - \frac{125}{36}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{125}{36}$ .

$- \frac{125}{36}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ en $f (x) = x^{4} - 5 x^{2}$ es $(- \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36}), (- \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{30}}{6}) \cup (- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6}) \cup (\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{30}}{6})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.01287092$ en la expresión.

$f'' (- 1.01287092) = 12 {(- 1.01287092)}^{2} - 10$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.01287092$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.01287092) = 12 \cdot 1.02590751 - 10$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.02590751$ .

$f'' (- 1.01287092) = 12.31089023 - 10$

Paso 6.2.2

Resta $10$ de $12.31089023$ .

$f'' (- 1.01287092) = 2.31089023$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2.31089023$ .

$2.31089023$

Paso 6.3

En $- 1.01287092$ , la segunda derivada es $2.31089023$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{30}}{6})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{30}}{6})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 10$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 10$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 10$

Paso 7.2.2

Resta $10$ de $0$ .

$f'' (0) = - 10$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 10$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{30}}{6}, \frac{\sqrt{30}}{6})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.01287092$ en la expresión.

$f'' (1.01287092) = 12 {(1.01287092)}^{2} - 10$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $1.01287092$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.01287092) = 12 \cdot 1.02590751 - 10$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.02590751$ .

$f'' (1.01287092) = 12.31089023 - 10$

Paso 8.2.2

Resta $10$ de $12.31089023$ .

$f'' (1.01287092) = 2.31089023$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $2.31089023$ .

$2.31089023$

Paso 8.3

En $1.01287092$ , la segunda derivada es $2.31089023$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{30}}{6}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36}), (\frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$ .

$(- \frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36}), (\frac{\sqrt{30}}{6}, - \frac{125}{36})$

Paso 10