Cálculo Ejemplos

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.2.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ y $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Paso 1.2

La primera derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Paso 2.2

Simplifica $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.5

Multiplica $8$ por $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.7

Multiplica $16$ por $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.8

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.9

Multiplica $32$ por $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.2.1.4.1

Multiplica $12$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $60$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4.3

Multiplica $160$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4.4

Multiplica $240$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4.5

Multiplica $192$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Paso 2.2.1.4.6

Multiplica $7$ por $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Paso 2.2.2

Resta $7$ de $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Paso 2.3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - 3, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Suma $- 4$ y $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $7$ por $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Paso 5.2.2

Resta $7$ de $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $441$ .

$441$

Paso 5.3

En $x = - 4$ la derivada es $441$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $h' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Paso 6.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $7$ por $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Paso 6.2.2

Resta $7$ de $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 7$ .

$- 7$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $- 7$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- 3, - 1)$ desde $h' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Suma $0$ y $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Paso 7.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $7$ por $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Paso 7.2.2

Resta $7$ de $448$ .

$h' (0) = 441$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $441$ .

$441$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $441$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $h' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3, - 1)$

Paso 9