Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Paso 1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x^{2}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, - 1$ .

$1, - 1$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Paso 6.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Paso 6.2.4

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Paso 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Paso 7.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Paso 7.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Paso 7.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Paso 7.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- (1 \cdot 4)$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Paso 7.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Paso 8.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Paso 8.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Paso 8.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- (1 \cdot 4)$ .

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Paso 8.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Paso 8.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Paso 8.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 8.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 9.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Paso 9.2.2.3

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 9.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{3}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, 0), (0, 1)$

Paso 11