Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 + x$ y $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $3 - x$ por $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Multiplica.

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Paso 2.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10.2

Multiplica $2 + x$ por $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.12

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.12.1

Multiplica $2 + x$ por $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.12.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.12.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.12.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.12.4.1

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Paso 2.1.2.12.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 = 0$

Paso 3.3

Como $5 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x + 3$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Paso 5.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2.2

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $0$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 5.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$f' (2) = 5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $5$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 3)$ .

Incremento en $(- \infty, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$f' (4) = 5$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 8.3

En $x = 4$ la derivada es $5$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Paso 10