Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 3.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{1}{x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Paso 8.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Paso 8.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 10