Cálculo Ejemplos

$y = {(x - 4)}^{3}$

Paso 1

Escribe $y = {(x - 4)}^{3}$ como una función.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 2.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide ${(x - 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $4$ .

$4$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Resta $4$ de $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 6.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Paso 6.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (3) = 3$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6.3

En $x = 3$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 4)$ .

Incremento en $(- \infty, 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Resta $4$ de $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Paso 7.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Paso 7.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (5) = 3$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 7.3

En $x = 5$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Paso 9