Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} x$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 3.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Paso 3.2.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.2.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.4

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.5

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$4 - 9 + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.6

Resta $9$ de $4$ .

$- 5 + 6 \cdot 1 - 1$

Paso 3.2.1.3.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Paso 3.2.1.3.8

Suma $- 5$ y $6$ .

$1 - 1$

Paso 3.2.1.3.9

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 3.2.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1}{x - 1}$

Paso 3.2.1.5

Divide $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ por $x - 1$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$1$

Paso 3.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Paso 3.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 3.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 3.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Paso 3.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 3.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 3.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 3.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Paso 3.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$

Paso 3.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 3.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 3.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Paso 3.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Paso 3.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Paso 3.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{2} - 5 x + 1$

Paso 3.2.1.6

Escribe $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$(x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1) = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1) = 0$

Paso 3.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) (x (4 x - 1) - (4 x - 1)) = 0$

Paso 3.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(x - 1) ((4 x - 1) (x - 1)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.5

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1, \frac{1}{4}$ .

$1, \frac{1}{4}$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{4})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.75$ en la expresión.

$f' (- 0.75) = 4 {(- 0.75)}^{3} - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.75$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.75) = 4 \cdot - 0.421875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 \cdot 0.5625 + 6 (- 0.75) - 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 + 6 (- 0.75) - 1$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $6$ por $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 - 4.5 - 1$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $5.0625$ de $- 1.6875$ .

$f' (- 0.75) = - 6.75 - 4.5 - 1$

Paso 6.2.2.2

Resta $4.5$ de $- 6.75$ .

$f' (- 0.75) = - 11.25 - 1$

Paso 6.2.2.3

Resta $1$ de $- 11.25$ .

$f' (- 0.75) = - 12.25$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12.25$ .

$- 12.25$

Paso 6.3

En $x = - 0.75$ la derivada es $- 12.25$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{1}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{4})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0.25, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.625$ en la expresión.

$f' (0.625) = 4 {(0.625)}^{3} - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.625$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.625) = 4 \cdot 0.24414062 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.24414062$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.625$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 \cdot 0.390625 + 6 (0.625) - 1$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $0.390625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 6 (0.625) - 1$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $6$ por $0.625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 3.75 - 1$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $3.515625$ de $0.9765625$ .

$f' (0.625) = - 2.5390625 + 3.75 - 1$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 2.5390625$ y $3.75$ .

$f' (0.625) = 1.2109375 - 1$

Paso 7.2.2.3

Resta $1$ de $1.2109375$ .

$f' (0.625) = 0.2109375$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.2109375$ .

$0.2109375$

Paso 7.3

En $x = 0.625$ la derivada es $0.2109375$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0.25, 1)$ .

Incremento en $(\frac{1}{4}, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 32 - 9 \cdot 4 + 6 (2) - 1$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 6 (2) - 1$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $6$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 12 - 1$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $36$ de $32$ .

$f' (2) = - 4 + 12 - 1$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 4$ y $12$ .

$f' (2) = 8 - 1$

Paso 8.2.2.3

Resta $1$ de $8$ .

$f' (2) = 7$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 8.3

En $x = 2$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{1}{4}, 1), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{1}{4})$

Paso 10