Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 6 x + 6$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 2 x + 2$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 3.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i$

Paso 3.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 3.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i$

Paso 3.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i, 1 - i$

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 6

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f' (1) = 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 7

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ es $3$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Paso 8

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 9