Cálculo Ejemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Paso 1

Escribe $y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ como una función.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 2.1.2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 2.1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Paso 2.1.2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Paso 2.1.2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 9}$ y $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Paso 2.1.2.10

Cancela el factor común de $3$ y $3 x - 9$ .

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Paso 2.1.2.10.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Paso 2.1.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Paso 2.1.2.10.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Paso 2.1.2.10.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 2.1.2.10.2.4

Cancela el factor común.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 2.1.2.10.2.5

Reescribe la expresión.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Paso 2.1.2.11

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 2.1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Paso 2.1.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Paso 2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Paso 2.1.3.3

Resta $4$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 7 = 0$

Paso 3.3

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $7$ .

$7$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{x - 7}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 7

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(3, 7)$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(3, 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Resta $7$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

Paso 8.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

Paso 8.2.3

Divide $- 2$ por $2$ .

$f' (5) = - 1$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, 7)$ .

Decrecimiento en $(3, 7)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(3, 7), (7, \infty)$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Resta $7$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

Paso 10.2.2

Resta $3$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{5}$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Paso 10.3

En $x = 8$ la derivada es $\frac{1}{5}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(7, \infty)$ .

Incremento en $(7, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(7, \infty)$

Decrecimiento en: $(3, 7)$

Paso 12