Cálculo Ejemplos

$y = 8 x^{2} - x^{4}$

Paso 1

Escribe $y = 8 x^{2} - x^{4}$ como una función.

$f (x) = 8 x^{2} - x^{4}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$f' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 16 x - (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 16 x - 4 x^{3}$

Paso 2.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{3} + 16 x$ .

$- 4 x^{3} + 16 x$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x^{3} + 16 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 16 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $- 4 x$ de $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza.

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Paso 3.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 3.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = - 4 {(- 3)}^{3} + 16 (- 3)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3) = - 4 \cdot - 27 + 16 (- 3)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = 108 + 16 (- 3)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $16$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Paso 6.2.2

Resta $48$ de $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 6.3

En $x = - 3$ la derivada es $60$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 + 16 (- 1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 - 16$

Paso 7.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$f' (- 1) = - 12$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 4 {(1)}^{3} + 16 (1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 4 \cdot 1 + 16 (1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16 (1)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16$

Paso 8.2.2

Suma $- 4$ y $16$ .

$f' (1) = 12$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $12$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 2)$ .

Incremento en $(0, 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 16 (3)$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 16 (3)$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $27$ .

$f' (3) = - 108 + 16 (3)$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$f' (3) = - 108 + 48$

Paso 9.2.2

Suma $- 108$ y $48$ .

$f' (3) = - 60$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 60$ .

$- 60$

Paso 9.3

En $x = 3$ la derivada es $- 60$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2, \infty)$ .

Decrecimiento en $(2, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Decrecimiento en: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Paso 11