Cálculo Ejemplos

$e^{- x^{2}}$

Paso 1

Escribe $e^{- x^{2}}$ como una función.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.1.3.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.8.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.2.10

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Paso 2.2.11

Simplifica.

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Paso 2.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.2.11.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.2.11.3

Reordena los términos.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.2.11.4

Reordena los factores en $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $2 e^{- x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2 e^{- x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $2 e^{- x^{2}}$ de $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $2 e^{- x^{2}}$ de $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = e^{- x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 4.1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = e^{- x^{2}}$ es $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = e^{- x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Paso 4.3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 4.3.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 4.3.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Paso 4.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 4.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.3.2.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.2.8

La respuesta final es $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = e^{- x^{2}}$ es $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.80710678$ en la expresión.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Combina $2.60568542$ y $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.9

Divide $2.60568542$ por $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Paso 6.2.1.10

Eleva $- 0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Paso 6.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Paso 6.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Paso 6.2.1.13

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Paso 6.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Paso 6.2.2

Resta $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.31574641$ .

$0.31574641$

Paso 6.3

En $- 0.80710678$ , la segunda derivada es $0.31574641$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Paso 7.2.1.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Paso 7.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.80710678$ en la expresión.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Combina $2.60568542$ y $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Divide $2.60568542$ por $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Eleva $0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Paso 8.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Paso 8.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Paso 8.2.1.13

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Paso 8.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.31574641$ .

$0.31574641$

Paso 8.3

En $0.80710678$ , la segunda derivada es $0.31574641$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 10