Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$