Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ en $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Paso 3.1.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 9$

Paso 3.1.2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 9$

Paso 3.1.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 9$

Paso 3.1.2.1.10

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 9$

Paso 3.1.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 9$

Paso 3.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4} + 9$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3}{4} + 9$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}) + 9$

Paso 3.1.2.2.4

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 9$

Paso 3.1.2.2.5

Escribe $9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1}$

Paso 3.1.2.2.6

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Paso 3.1.2.2.7

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.2.8

Reordena los factores de $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{2 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.2.9

Multiplica $2$ por $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.2.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 3 \cdot 4 + 9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 9 \cdot 16}{16}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $9$ por $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 144}{16}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.5.1

Suma $1$ y $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 12 + 144}{16}$

Paso 3.1.2.5.2

Resta $12$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 9 + 144}{16}$

Paso 3.1.2.5.3

Suma $- 9$ y $144$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{135}{16}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{135}{16}$ .

$\frac{135}{16}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{2}$ en $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ es $(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 \cdot 1 + 9$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 + 9$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0 - 3 + 9$

Paso 3.3.2.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$f (- 1) = - 3 + 9$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $- 3$ y $9$ .

$f (- 1) = 6$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ es $(- 1, 6)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 6)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16}), (- 1, 6)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) - 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) - 6$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 6 (- 1.1) - 6$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 6.6 - 6$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.2.1

Resta $6.6$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 7.92 - 6$

Paso 5.2.2.2

Resta $6$ de $7.92$ .

$f'' (- 1.1) = 1.92$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1.92$ .

$1.92$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $1.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.25$ en la expresión.

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.25$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.0625$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 6$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 6$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $1.5$ de $0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 6$

Paso 6.2.2.2

Resta $6$ de $- 0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 6.75$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 6.75$ .

$- 6.75$

Paso 6.3

En $- 0.25$ , la segunda derivada es $- 6.75$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- 1, \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.6$ en la expresión.

$f'' (0.6) = 12 {(0.6)}^{2} + 6 (0.6) - 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.6) = 12 \cdot 0.36 + 6 (0.6) - 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.36$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 6 (0.6) - 6$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $0.6$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 3.6 - 6$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $4.32$ y $3.6$ .

$f'' (0.6) = 7.92 - 6$

Paso 7.2.2.2

Resta $6$ de $7.92$ .

$f'' (0.6) = 1.92$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.92$ .

$1.92$

Paso 7.3

En $0.6$ , la segunda derivada es $1.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ .

$(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Paso 9