Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{4} + 6 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $- 4 x^{3} + 12 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{3} + 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 12 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 x^{2} + 12$ .

$- 12 x^{2} + 12$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 12 x^{2} + 12 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 12 x^{2} + 12 = 0$

Paso 2.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 12 x^{2} = - 12$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 12 x^{2} = - 12$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 12 x^{2} = - 12$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 12}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 12$ por $- 12$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 4$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Paso 3.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (1) = 1$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ es $(1, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, 1)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 3.3.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 3.3.2.1.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 - 4$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (- 1) = 5 - 4$

Paso 3.3.2.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (- 1) = 1$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ es $(- 1, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 1)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, 1), (- 1, 1)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = - 12 {(- 1.1)}^{2} + 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 14.52 + 12$

Paso 5.2.2

Suma $- 14.52$ y $12$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.52$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2.52$ .

$- 2.52$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 2.52$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 12$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $12$ .

$f'' (0) = 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $12$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} + 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 + 12$

Paso 7.2.2

Suma $- 14.52$ y $12$ .

$f'' (1.1) = - 2.52$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 2.52$ .

$- 2.52$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 2.52$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, 1), (1, 1)$ .

$(- 1, 1), (1, 1)$

Paso 9