Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 48 x + 36$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 48 x + 36$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 48 x + 36 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $12$ de $48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (4 x) + 36 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $12$ de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 (4 x)$ .

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x + 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (x + 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 1$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = 1 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 \cdot 1 + 8$

Paso 3.1.2.1.5

Multiplica $18$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 + 8$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $8$ de $1$ .

$f (- 1) = - 7 + 18 + 8$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 7$ y $18$ .

$f (- 1) = 11 + 8$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $11$ y $8$ .

$f (- 1) = 19$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $19$ .

$19$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ es $(- 1, 19)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 19)$

Paso 3.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = 81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f (- 3) = 81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $8$ por $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Paso 3.3.2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 \cdot 9 + 8$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $18$ por $9$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 162 + 8$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $216$ de $81$ .

$f (- 3) = - 135 + 162 + 8$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 135$ y $162$ .

$f (- 3) = 27 + 8$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $27$ y $8$ .

$f (- 3) = 35$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $35$ .

$35$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ es $(- 3, 35)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, 35)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 1, 19), (- 3, 35)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 48 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 48 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 48 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 148.8 + 36$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $148.8$ de $115.32$ .

$f'' (- 3.1) = - 33.48 + 36$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 33.48$ y $36$ .

$f'' (- 3.1) = 2.52$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 5.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2) + 36$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2) + 36$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2) + 36$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96 + 36$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $96$ de $48$ .

$f'' (- 2) = - 48 + 36$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 48$ y $36$ .

$f'' (- 2) = - 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 6.3

En $- 2$ , la segunda derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 3, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- 3, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.9$ en la expresión.

$f'' (- 0.9) = 12 {(- 0.9)}^{2} + 48 (- 0.9) + 36$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.9) = 12 \cdot 0.81 + 48 (- 0.9) + 36$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 + 48 (- 0.9) + 36$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 - 43.2 + 36$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $43.2$ de $9.72$ .

$f'' (- 0.9) = - 33.48 + 36$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 33.48$ y $36$ .

$f'' (- 0.9) = 2.52$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 7.3

En $- 0.9$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, 35), (- 1, 19)$ .

$(- 3, 35), (- 1, 19)$

Paso 9