Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (81 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (81 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (81 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (81 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (81 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [81 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81 x$ con respecto a $x$ es $81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 81 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 81 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $81$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 81$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 36 x + 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 + \frac{d}{d x} (81)$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6 x - 36$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 36$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 36$ .

$6 x - 36$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 36 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 36 = 0$

Paso 2.2

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 36$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 36$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 36$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{36}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{36}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{36}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $36$ por $6$ .

$x = 6$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6$ en $f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = {(6)}^{3} - 18 {(6)}^{2} + 81 (6)$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = 216 - 18 {(6)}^{2} + 81 (6)$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = 216 - 18 \cdot 36 + 81 (6)$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $36$ .

$f (6) = 216 - 648 + 81 (6)$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $81$ por $6$ .

$f (6) = 216 - 648 + 486$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $648$ de $216$ .

$f (6) = - 432 + 486$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 432$ y $486$ .

$f (6) = 54$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $54$ .

$54$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$ es $(6, 54)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, 54)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $5.9$ en la expresión.

$f'' (5.9) = 6 (5.9) - 36$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $5.9$ .

$f'' (5.9) = 35.4 - 36$

Paso 5.2.2

Resta $36$ de $35.4$ .

$f'' (5.9) = - 0.6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 5.3

En $5.9$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 6)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = 6 (6.1) - 36$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = 36.6 - 36$

Paso 6.2.2

Resta $36$ de $36.6$ .

$f'' (6.1) = 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 6.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(6, 54)$ .

$(6, 54)$

Paso 8