Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

Paso 1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Paso 1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

Paso 1.1.5.2

Resta $7$ de $5$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

Paso 1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

Paso 1.1.7

Simplifica.

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Paso 1.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

Paso 1.1.7.2

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $\frac{5}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

Paso 1.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ como ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{7} \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{7}$ y $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

Paso 1.2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

Paso 1.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

Paso 1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Paso 1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

Paso 1.2.7.2

Resta $7$ de $- 2$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

Paso 1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

Paso 1.2.9

Combina $x^{- \frac{9}{7}}$ y $\frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

Paso 1.2.10

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ .

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

Paso 1.2.11

Multiplica.

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Paso 1.2.11.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

Paso 1.2.11.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

Paso 1.2.11.3

Mueve $x^{- \frac{9}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 = 0$

Paso 2.3

Como $10 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión