Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x^{2} - 9$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} - 9)}^{2}$ como $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.4.2

Resta $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.6.1

Multiplica $- 18$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.10.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $- 9$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.2

Suma $- 36 x^{3}$ y $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.3.3

Resta $324 x$ de $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ .

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Paso 1.2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 486 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.4

Factoriza $u^{2} + 18 u - 243$ con el método AC.

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Paso 1.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 243$ y cuya suma es $18$ .

$- 9, 27$

Paso 1.2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Paso 1.2.5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Paso 1.2.5.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Paso 1.2.5.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 1.2.5.6

Cancela el factor común de $x + 3$ y ${(x + 3)}^{4}$ .

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Paso 1.2.5.6.1

Factoriza $x + 3$ de $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 1.2.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.6.2.1

Factoriza $x + 3$ de ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Paso 1.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Paso 1.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7

Cancela el factor común de $x - 3$ y ${(x - 3)}^{4}$ .

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Paso 1.2.5.7.1

Factoriza $x - 3$ de $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Paso 1.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.7.2.1

Factoriza $x - 3$ de ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Paso 1.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Paso 1.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x^{2} + 27) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x^{2} + 27$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x^{2} + 27$ igual a $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $x^{2} + 27 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 27$

Paso 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Paso 2.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 27}$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Paso 2.3.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Paso 2.3.3.2.3.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.3.3.2.3.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Paso 2.3.3.2.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Paso 2.3.3.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x^{2} + 27) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} - 9}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Paso 3.1.2.1.2

Resta $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Paso 3.1.2.2

Divide $0$ por $- 9$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 27)}{{((- 0.1) + 3)}^{3} {((- 0.1) - 3)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 27)}{{(- 0.1 + 3)}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 0.2$ por ${(- 0.1)}^{2} + 27$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{{(- 0.1 + 3)}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 0.1$ y $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{{2.9}^{3} {(- 0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Resta $3$ de $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{{2.9}^{3} {(- 3.1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $2.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{24.389 {(- 3.1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{24.389 \cdot - 29.791}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $24.389$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 5.402}{- 726.572699}$

Paso 5.2.3.2

Divide $- 5.402$ por $- 726.572699$ .

$f'' (- 0.1) = 0.0074349$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $0.0074349$ .

$0.0074349$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.0074349$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 27)}{{((0.1) + 3)}^{3} {((0.1) - 3)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 27)}{{(0.1 + 3)}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $0.2$ por ${0.1}^{2} + 27$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{{(0.1 + 3)}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $0.1$ y $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{{3.1}^{3} {(0.1 - 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $3$ de $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{{3.1}^{3} {(- 2.9)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{29.791 {(- 2.9)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 2.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{29.791 \cdot - 24.389}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $29.791$ por $- 24.389$ .

$f'' (0.1) = \frac{5.402}{- 726.572699}$

Paso 6.2.3.2

Divide $5.402$ por $- 726.572699$ .

$f'' (0.1) = - 0.0074349$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.0074349$ .

$- 0.0074349$

Paso 6.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.0074349$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 8