Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 18 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $12 x - 18$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x - 18 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x - 18 = 0$

Paso 2.2

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x = 18$

Paso 2.3

Divide cada término en $12 x = 18$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $12 x = 18$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $18$ y $12$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{3}{2}$ en $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.8

Multiplica $- 9 (\frac{9}{4})$ .

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Paso 3.1.2.1.8.1

Combina $- 9$ y $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.8.2

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.10.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

Paso 3.1.2.1.10.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Paso 3.1.2.1.10.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

Paso 3.1.2.1.11

Multiplica $6$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

Paso 3.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $81$ de $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $4$ .

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Paso 3.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

Paso 3.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

Paso 3.1.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

Paso 3.1.2.4

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 3.1.2.5

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Paso 3.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Paso 3.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.7.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

Paso 3.1.2.7.2

Resta $27$ de $36$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

Paso 3.1.2.8

La respuesta final es $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{3}{2}$ en $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ es $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.4$ en la expresión.

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $12$ por $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

Paso 5.2.2

Resta $18$ de $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1.2$ .

$- 1.2$

Paso 5.3

En $1.4$ , la segunda derivada es $- 1.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{3}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.6$ en la expresión.

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $12$ por $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

Paso 6.2.2

Resta $18$ de $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.2$ .

$1.2$

Paso 6.3

En $1.6$ , la segunda derivada es $1.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{3}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Paso 8