Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x {(x - 4)}^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.1.4.6

Multiplica ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.3

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.3.1

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.3.2

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Paso 1.1.5.3.3

Factoriza $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Paso 1.1.5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.6

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.7.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.7.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.9.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.9.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Paso 1.1.5.10

Expande $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.11.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.11.6.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.7

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.8

Multiplica $- 4$ por $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.9

Multiplica $4$ por $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Paso 1.1.5.11.10

Multiplica $32$ por $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Paso 1.1.5.12

Resta $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Paso 1.1.5.13

Suma $64 x$ y $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Como $192$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $192 x$ con respecto a $x$ es $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $192$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Como $- 128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 128$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $24 x^{2} - 144 x + 192$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $24$ de $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $24$ de $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $24$ de $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $24$ de $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $24$ de $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $24$ de $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 4, 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $4$ en $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Paso 3.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (4) = 0$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ es $(4, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $2$ en $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Paso 3.3.2.2

Resta $4$ de $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Paso 3.3.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ es $(2, - 32)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, - 32)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(4, 0), (2, - 32)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.9$ en la expresión.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $1.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $24$ por $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $273.6$ de $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 186.96$ y $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5.04$ .

$5.04$

Paso 5.3

En $1.9$ , la segunda derivada es $5.04$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 2)$ .

Incremento en $(- \infty, 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(2, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $24$ por $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $432$ de $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 216$ y $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 6.3

En $3$ , la segunda derivada es $- 24$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(2, 4)$ .

Decrecimiento en $(2, 4)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.1$ en la expresión.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $4.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $24$ por $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $590.4$ de $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 186.96$ y $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5.04$ .

$5.04$

Paso 7.3

En $4.1$ , la segunda derivada es $5.04$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Paso 9