Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.1.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 1.1.3.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.1.3.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.1.3.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 1.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Paso 1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 1.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 1.2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 1.2.2.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 1.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 1.2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 1.2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 1.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 1.2.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 1.2.2.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 1.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 1.2.2.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 1.2.2.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Paso 1.2.2.15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.2.2.16

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.2.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.2.3

Resta $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión