Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} [16]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} - 48 x + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $20 x^{3} - 48 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} - 48 x$ .

$20 x^{3} - 48 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} - 48 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} - 48 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $4 x$ de $20 x^{3} - 48 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $20 x^{3}$ .

$4 x (5 x^{2}) - 48 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 48 x$ .

$4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 12) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 12)$ .

$4 x (5 x^{2} - 12) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $5 x^{2} - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $5 x^{2} - 12$ igual a $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $5 x^{2} - 12 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} = 12$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $5 x^{2} = 12$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{2} = 12$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Paso 2.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ como $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.2.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.4.2.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.3

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 2.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 2.5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 2.5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Paso 2.5.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Paso 2.5.2.4.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (5 x^{2} - 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{3} + 16 (0)$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 (0)$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16 (0)$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 16 (0)$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $16$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{5}$ como $\sqrt{15^{5}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Eleva $15$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.4

Reescribe $759375$ como $225^{2} \cdot 15$ .

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Paso 3.3.2.1.2.4.1

Factoriza $50625$ de $759375$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.4.2

Reescribe $50625$ como $225^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \cdot (225 \sqrt{15})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.2.6

Multiplica $32$ por $225$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7200 \sqrt{15}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7200 \sqrt{15}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $7200$ y $3125$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $25$ de $7200 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.4.2.1

Factoriza $25$ de $3125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.1.6.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.3

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{3375}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.4

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

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Paso 3.3.2.1.6.4.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.4.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (15 \sqrt{15})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.6.6

Multiplica $8$ por $15$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{120 \sqrt{15}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{120 \sqrt{15}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.8

Cancela el factor común de $120$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.8.1

Factoriza $5$ de $120 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.8.2.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{24 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.9

Multiplica $- 8 \frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.9.1

Combina $- 8$ y $\frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 8 (24 \sqrt{15})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.9.2

Multiplica $24$ por $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 192 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.3.2.1.11

Multiplica $16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.11.1

Combina $16$ y $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{15})}{5}$

Paso 3.3.2.1.11.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.3.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - (\frac{192 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Paso 3.3.2.2.4

Multiplica $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.3.2.2.5

Reordena los factores de $25 \cdot 5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.3.2.2.6

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.3.2.2.7

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 192 \sqrt{15} \cdot 5 + 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $5$ por $- 192$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 960 \sqrt{15} + 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.3.2.4.2

Multiplica $25$ por $32$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 960 \sqrt{15} + 800 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.5.1

Resta $960 \sqrt{15}$ de $288 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 672 \sqrt{15} + 800 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 672 \sqrt{15}$ y $800 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{128 \sqrt{15}}{125}$ .

$\frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ es $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Paso 3.5

Sustituye $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{5}$ como $\sqrt{15^{5}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.3

Eleva $15$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.4

Reescribe $759375$ como $225^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.3.4.1

Factoriza $50625$ de $759375$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.4.2

Reescribe $50625$ como $225^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \cdot (225 \sqrt{15})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.3.6

Multiplica $32$ por $225$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7200 \sqrt{15}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7200 \sqrt{15}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.5

Cancela el factor común de $7200$ y $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.5.1

Factoriza $25$ de $7200 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.5.2.1

Factoriza $25$ de $3125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.6.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.8.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.2

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.3

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{3375}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.4

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.8.4.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.4.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.5

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (15 \sqrt{15})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.8.6

Multiplica $8$ por $15$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{120 \sqrt{15}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.9

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{120 \sqrt{15}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.10

Cancela el factor común de $120$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.10.1

Factoriza $5$ de $120 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.10.2.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.10.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{24 \sqrt{15}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.11

Multiplica $- 8 (- \frac{24 \sqrt{15}}{25})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + 8 (\frac{24 \sqrt{15}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.11.2

Combina $8$ y $\frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{8 (24 \sqrt{15})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.11.3

Multiplica $24$ por $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Paso 3.5.2.1.12

Multiplica $16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.5.2.1.12.2

Combina $- 16$ y $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{15})}{5}$

Paso 3.5.2.1.12.3

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.5.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.5.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1

Multiplica $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.5.2.2.2

Multiplica $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Paso 3.5.2.2.4

Multiplica $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.5.2.2.5

Reordena los factores de $25 \cdot 5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.5.2.2.6

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Paso 3.5.2.2.7

Multiplica $5$ por $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 192 \sqrt{15} \cdot 5 - 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1

Multiplica $5$ por $192$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 960 \sqrt{15} - 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $25$ por $- 32$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 960 \sqrt{15} - 800 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.5.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1

Suma $- 288 \sqrt{15}$ y $960 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{672 \sqrt{15} - 800 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.5.2.5.2

Resta $800 \sqrt{15}$ de $672 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 128 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.5.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es $- \frac{128 \sqrt{15}}{125}$ .

$- \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ en $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ es $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.64919333$ en la expresión.

$f'' (- 1.64919333) = 20 {(- 1.64919333)}^{3} - 48 \cdot - 1.64919333$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.64919333$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.64919333) = 20 \cdot - 4.48553981 - 48 \cdot - 1.64919333$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 4.48553981$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 89.71079625 - 48 \cdot - 1.64919333$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 48$ por $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 89.71079625 + 79.16128024$

Paso 5.2.2

Suma $- 89.71079625$ y $79.16128024$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 10.549516$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 10.549516$ .

$- 10.549516$

Paso 5.3

En $- 1.64919333$ , la segunda derivada es $- 10.549516$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.77459666$ en la expresión.

$f'' (- 0.77459666) = 20 {(- 0.77459666)}^{3} - 48 \cdot - 0.77459666$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.77459666$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.77459666) = 20 \cdot - 0.464758 - 48 \cdot - 0.77459666$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 0.464758$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 9.29516003 - 48 \cdot - 0.77459666$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 48$ por $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 9.29516003 + 37.18064012$

Paso 6.2.2

Suma $- 9.29516003$ y $37.18064012$ .

$f'' (- 0.77459666) = 27.88548009$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $27.88548009$ .

$27.88548009$

Paso 6.3

En $- 0.77459666$ , la segunda derivada es $27.88548009$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.77459666$ en la expresión.

$f'' (0.77459666) = 20 {(0.77459666)}^{3} - 48 \cdot 0.77459666$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.77459666$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.77459666) = 20 \cdot 0.464758 - 48 \cdot 0.77459666$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $0.464758$ .

$f'' (0.77459666) = 9.29516003 - 48 \cdot 0.77459666$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 48$ por $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = 9.29516003 - 37.18064012$

Paso 7.2.2

Resta $37.18064012$ de $9.29516003$ .

$f'' (0.77459666) = - 27.88548009$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 27.88548009$ .

$- 27.88548009$

Paso 7.3

En $0.77459666$ , la segunda derivada es $- 27.88548009$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.64919333$ en la expresión.

$f'' (1.64919333) = 20 {(1.64919333)}^{3} - 48 \cdot 1.64919333$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $1.64919333$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.64919333) = 20 \cdot 4.48553981 - 48 \cdot 1.64919333$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $20$ por $4.48553981$ .

$f'' (1.64919333) = 89.71079625 - 48 \cdot 1.64919333$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 48$ por $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = 89.71079625 - 79.16128024$

Paso 8.2.2

Resta $79.16128024$ de $89.71079625$ .

$f'' (1.64919333) = 10.549516$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $10.549516$ .

$10.549516$

Paso 8.3

En $1.64919333$ , la segunda derivada es $10.549516$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Paso 10