Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 12$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Paso 1.1.3.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Paso 1.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Paso 1.1.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Paso 1.1.4.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Paso 1.1.4.3.4

Multiplica $8$ por $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} - 96 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 96 x$ con respecto a $x$ es $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 96$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x^{2} - 96 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Paso 2.2

Suma $96$ a ambos lados de la ecuación.

$24 x^{2} = 96$

Paso 2.3

Divide cada término en $24 x^{2} = 96$ por $24$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $24 x^{2} = 96$ por $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $96$ por $24$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2$ en $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Paso 3.1.2.2

Resta $12$ de $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Paso 3.1.2.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $2$ por $64$ .

$f (2) = 128$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $128$ .

$128$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ es $(2, 128)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, 128)$

Paso 3.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Paso 3.3.2.2

Resta $12$ de $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Paso 3.3.2.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $2$ por $64$ .

$f (- 2) = 128$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $128$ .

$128$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ es $(- 2, 128)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, 128)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $24$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Paso 5.2.2

Resta $96$ de $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $9.84$ .

$9.84$

Paso 5.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $9.84$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Paso 6.2.2

Resta $96$ de $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 96$ .

$- 96$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 96$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $24$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Paso 7.2.2

Resta $96$ de $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $9.84$ .

$9.84$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $9.84$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Paso 9