Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{8} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{4}{8}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Combinar.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4.1.1.3.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 3.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 3.6

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 3.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2$ en $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Paso 4.1.2.2

Resta $12$ de $2$ .

$f (2) = - 10$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ es $(2, - 10)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, - 10)$

Paso 4.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Paso 4.3.2.2

Resta $12$ de $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ es $(- 2, - 10)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 10)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Paso 6.2.1.3

Divide $13.23$ por $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Paso 6.2.2

Resta $6$ de $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.615$ .

$0.615$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $0.615$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Paso 7.2.1.3

Divide $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Paso 7.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Paso 8.2.1.3

Divide $13.23$ por $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Paso 8.2.2

Resta $6$ de $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.615$ .

$0.615$

Paso 8.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $0.615$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Paso 10