Cálculo Ejemplos

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

Paso 1

Escribe $y = {(x - 2)}^{3} + 3$ como una función.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x - 2)}^{3} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $3 {(x - 2)}^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

Paso 2.2.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

Paso 2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Paso 2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

Paso 2.2.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

Paso 2.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 2.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 2.2.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 2.2.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

Paso 2.2.11

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

Paso 2.2.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

Paso 2.2.12.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.12.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

Paso 2.2.12.2.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 12 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Paso 3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 12$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide $12$ por $6$ .

$x = 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2$ en $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (2) = 0^{3} + 3$

Paso 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (2) = 3$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ es $(2, 3)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, 3)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.9$ en la expresión.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $1.9$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Paso 7.2.2

Resta $12$ de $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(2, 3)$ .

$(2, 3)$

Paso 9