Cálculo Ejemplos

$y = x^{3}$

Paso 1

Escribe $y = x^{3}$ como una función.

$f (x) = x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x$ .

$6 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $6 x = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x = 0$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 9