Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 4 x - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $6 x - 4$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 4$ .

$6 x - 4$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 4 = 0$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = 4$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = 4$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{2}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - 2 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - 2 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Paso 4.1.2.1.7.1

Combina $- 2$ y $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.7.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (\frac{2}{3}) + 6$

Paso 4.1.2.1.9

Multiplica $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 4.1.2.1.9.1

Combina $- 4$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} + 6$

Paso 4.1.2.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{- 8}{3} + 6$

Paso 4.1.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - \frac{8}{3} + 6$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{8}{3} + 6$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8}{3} + 6$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 6$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 6$

Paso 4.1.2.2.5

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{6}{1}$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{6}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} - \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 8 \cdot 3 - 8 \cdot 9 + 6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 24 - 8 \cdot 9 + 6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $- 8$ por $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 24 - 72 + 6 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $6$ por $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 24 - 72 + 162}{27}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $24$ de $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 16 - 72 + 162}{27}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $72$ de $- 16$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 88 + 162}{27}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $- 88$ y $162$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{74}{27}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{74}{27}$ .

$\frac{74}{27}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 6$ es $(\frac{2}{3}, \frac{74}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2}{3}, \frac{74}{27})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{2}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (0.5\overline{6}) = 6 (0.5\overline{6}) - 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $0.5\overline{6}$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = 3.3\overline{9} - 4$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de $3.3\overline{9}$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $0.5\overline{6}$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{2}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{2}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (0.7\overline{6}) = 6 (0.7\overline{6}) - 4$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 4.5\overline{9} - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $4.5\overline{9}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Paso 7.3

En $0.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $0.5\overline{9}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{2}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{2}{3}, \frac{74}{27})$ .

$(\frac{2}{3}, \frac{74}{27})$

Paso 9