Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 8 x - 3$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 8 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $6 x - 8$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 8$ .

$6 x - 8$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 8 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 8 = 0$

Paso 3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 8$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x = 8$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x = 8$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{8}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{8}{6}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{6}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = \frac{2 (4)}{6}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{4}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 4 (\frac{16}{9}) - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.7

Multiplica $- 4 (\frac{16}{9})$ .

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Paso 4.1.2.1.7.1

Combina $- 4$ y $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.7.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{- 64}{9} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 3 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.1.9.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 3 (- 1) (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 4.1.2.1.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3})) + 4$

Paso 4.1.2.1.9.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 1 \cdot 4 + 4$

Paso 4.1.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 4 + 4$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 4 + 4$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 4 + 4$

Paso 4.1.2.2.3

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} + 4$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{27}{27} + 4$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + 4$

Paso 4.1.2.2.6

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{4}{1}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.9

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 64 \cdot 3 - 4 \cdot 27 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 64$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 192 - 4 \cdot 27 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $- 4$ por $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 192 - 108 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $4$ por $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 192 - 108 + 108}{27}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $192$ de $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 128 - 108 + 108}{27}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $108$ de $- 128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 236 + 108}{27}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $- 236$ y $108$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 128}{27}$

Paso 4.1.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{128}{27}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- \frac{128}{27}$ .

$- \frac{128}{27}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{4}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 4$ es $(\frac{4}{3}, - \frac{128}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{4}{3}, - \frac{128}{27})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{4}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.2\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (1.2\overline{3}) = 6 (1.2\overline{3}) - 8$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $1.2\overline{3}$ .

$f'' (1.2\overline{3}) = 7.3\overline{9} - 8$

Paso 6.2.2

Resta $8$ de $7.3\overline{9}$ .

$f'' (1.2\overline{3}) = - 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 6.3

En $1.2\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{4}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{4}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{4}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.4\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (1.4\overline{3}) = 6 (1.4\overline{3}) - 8$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $6$ por $1.4\overline{3}$ .

$f'' (1.4\overline{3}) = 8.5\overline{9} - 8$

Paso 7.2.2

Resta $8$ de $8.5\overline{9}$ .

$f'' (1.4\overline{3}) = 0.5\overline{9}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Paso 7.3

En $1.4\overline{3}$ , la segunda derivada es $0.5\overline{9}$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{4}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{4}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{4}{3}, - \frac{128}{27})$ .

$(\frac{4}{3}, - \frac{128}{27})$

Paso 9