Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 4 x$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 4 x$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 4 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $12 x^{2} = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} - 4 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 \cdot 0$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} - 4 x$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Paso 6.2.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.12$ .

$0.12$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.12$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Paso 7.2.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.12$ .

$0.12$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.12$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión