Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{\sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $9$ y $81$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.1.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 2$

Paso 4.1.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 2$

Paso 4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 4.1.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 2$

Paso 4.1.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.8.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.1.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.1.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 2$

Paso 4.1.2.1.9

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 2$

Paso 4.1.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 2$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.1.2.2.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 18}{9}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 18}{9}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $- 5$ y $18$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{13}{9}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{13}{9}$ .

$\frac{13}{9}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ es $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.6

Cancela el factor común de $9$ y $81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.6.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.6.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 2$

Paso 4.3.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 2$

Paso 4.3.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 2$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 2$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 2$

Paso 4.3.2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 2$

Paso 4.3.2.1.12

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 4.3.2.1.12.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 2$

Paso 4.3.2.1.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.12.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.3.2.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.3.2.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 2$

Paso 4.3.2.1.13

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 2$

Paso 4.3.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 2$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 2$

Paso 4.3.2.2.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 2 \cdot 9}{9}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 18}{9}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.2.5.1

Resta $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 18}{9}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $- 5$ y $18$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{13}{9}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $\frac{13}{9}$ .

$\frac{13}{9}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ en $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ es $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.67735026$ en la expresión.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.67735026$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.50564064$ .

$1.50564064$

Paso 6.3

En $- 0.67735026$ , la segunda derivada es $1.50564064$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.67735026$ en la expresión.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.67735026$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Paso 8.2.2

Resta $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1.50564064$ .

$1.50564064$

Paso 8.3

En $0.67735026$ , la segunda derivada es $1.50564064$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{13}{9})$

Paso 10