Cálculo Ejemplos

$y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$

Paso 1

Escribe $y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ como una función.

$f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} (17)$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $17$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ y $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $- 12 x^{2} + 48 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 x^{2} + 48 x$ .

$- 12 x^{2} + 48 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 12 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 12 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 12 x$ de $- 12 x^{2} + 48 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 12 x$ de $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 48 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $- 12 x$ de $48 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 4 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $- 12 x$ de $- 12 x (x) - 12 x (- 4)$ .

$- 12 x (x - 4) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 12 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 17$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 17$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 17$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 17$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 17$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 17$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 17$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 17$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $0$ y $17$ .

$f (0) = 17$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $17$ .

$17$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ es $(0, 17)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 17)$

Paso 4.3

Sustituye $4$ en $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 17$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (4) = - 1 \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 17$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$f (4) = - 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 17$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = - 256 + 8 \cdot 64 - 8 \cdot 4 + 17$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $8$ por $64$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 8 \cdot 4 + 17$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 32 + 17$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.2.2.1

Suma $- 256$ y $512$ .

$f (4) = 256 - 32 + 17$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $32$ de $256$ .

$f (4) = 224 + 17$

Paso 4.3.2.2.3

Suma $224$ y $17$ .

$f (4) = 241$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $241$ .

$241$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 17$ es $(4, 241)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, 241)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 17), (4, 241)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 48 (- 0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 48 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 48 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 4.8$

Paso 6.2.2

Resta $4.8$ de $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 4.92$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4.92$ .

$- 4.92$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 4.92$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = - 12 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = - 12 \cdot 4 + 48 (2)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f'' (2) = - 48 + 48 (2)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $48$ por $2$ .

$f'' (2) = - 48 + 96$

Paso 7.2.2

Suma $- 48$ y $96$ .

$f'' (2) = 48$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 7.3

En $2$ , la segunda derivada es $48$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, 4)$ .

Incremento en $(0, 4)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.1$ en la expresión.

$f'' (4.1) = - 12 {(4.1)}^{2} + 48 (4.1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $4.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.1) = - 12 \cdot 16.81 + 48 (4.1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $16.81$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 48 (4.1)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $48$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 196.8$

Paso 8.2.2

Suma $- 201.72$ y $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 4.92$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 4.92$ .

$- 4.92$

Paso 8.3

En $4.1$ , la segunda derivada es $- 4.92$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 17), (4, 241)$ .

$(0, 17), (4, 241)$

Paso 10