Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} + 6 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$24 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x + 6 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $24 x + 6$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x + 6$ .

$24 x + 6$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x + 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x + 6 = 0$

Paso 2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$24 x = - 6$

Paso 2.3

Divide cada término en $24 x = - 6$ por $24$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $24 x = - 6$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{24}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $24$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{24}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $24$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- \frac{1}{4}$ en $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{64}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 (16)}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 16}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.9

Multiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.11

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{16}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.12

Combina $3$ y $\frac{1}{16}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (- \frac{1}{4})$

Paso 3.1.2.1.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (\frac{- 1}{4})$

Paso 3.1.2.1.13.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{- 1}{4})$

Paso 3.1.2.1.13.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Paso 3.1.2.1.13.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Paso 3.1.2.1.13.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 3 (\frac{- 1}{2})$

Paso 3.1.2.1.14

Combina $- 3$ y $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Paso 3.1.2.1.15

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 3}{16} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 3.1.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 (1)}{16} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 3.1.2.3

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.1.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Paso 3.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 3 \cdot 4}{8}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.6.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 12}{8}$

Paso 3.1.2.6.2

Suma $1$ y $12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{13}{8}$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $\frac{13}{8}$ .

$\frac{13}{8}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{1}{4}$ en $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ es $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.35$ en la expresión.

$f'' (- 0.35) = 24 (- 0.35) + 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $24$ por $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 8.4 + 6$

Paso 5.2.2

Suma $- 8.4$ y $6$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.4$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2.4$ .

$- 2.4$

Paso 5.3

En $- 0.35$ , la segunda derivada es $- 2.4$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{1}{4})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.15$ en la expresión.

$f'' (- 0.15) = 24 (- 0.15) + 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $24$ por $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = - 3.6 + 6$

Paso 6.2.2

Suma $- 3.6$ y $6$ .

$f'' (- 0.15) = 2.4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2.4$ .

$2.4$

Paso 6.3

En $- 0.15$ , la segunda derivada es $2.4$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{1}{4}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Paso 8