Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $12$ de $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $12$ de $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.2

Reescribe $8$ como $2$ más $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Paso 2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.11

Multiplica $16 (- \frac{8}{27})$ .

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Paso 3.1.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.11.2

Combina $- 16$ y $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.11.3

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Paso 3.1.2.1.13

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.13.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Paso 3.1.2.1.13.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Paso 3.1.2.1.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Paso 3.1.2.1.15

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Paso 3.1.2.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Paso 3.1.2.1.17

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Paso 3.1.2.1.18

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.1.18.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Paso 3.1.2.1.18.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Paso 3.1.2.1.18.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Paso 3.1.2.1.18.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Paso 3.1.2.1.19

Combina $8$ y $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Paso 3.1.2.1.20

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Paso 3.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $128$ de $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Paso 3.1.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.2.3.1

Escribe $32$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Paso 3.1.2.3.2

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Paso 3.1.2.3.3

Multiplica $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Paso 3.1.2.3.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 3.1.2.3.5

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Paso 3.1.2.3.6

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.5.1

Multiplica $32$ por $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.5.2

Multiplica $32$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.6.1

Resta $112$ de $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Paso 3.1.2.6.2

Suma $752$ y $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{2}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ es $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Paso 3.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $16$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $24$ por $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Resta $128$ de $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 80$ y $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $16$ y $32$ .

$f (- 2) = 48$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $48$ .

$48$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ es $(- 2, 48)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, 48)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $96$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $201.6$ de $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 42.84$ y $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5.16$ .

$5.16$

Paso 5.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $5.16$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, - \frac{2}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $96$ por $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $128$ de $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 64$ y $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$- 16$

Paso 6.3

En $- 1.\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 16$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, - \frac{2}{3})$ .

Decrecimiento en $(- 2, - \frac{2}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.5\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $96$ por $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $54.4$ de $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 42.84$ y $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5.16$ .

$5.16$

Paso 7.3

En $- 0.5\overline{6}$ , la segunda derivada es $5.16$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{2}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Paso 9