Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 x^{4} - 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $15 x^{4} - 40 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 40 x^{3}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} - 40 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 40 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 x^{3} - 40 (3 x^{2})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $- 40$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x^{2}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $60 x^{2}$ de $- 120 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2)$ .

$60 x^{2} (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $60 x^{2} (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{4} + 1$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ es $(0, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 1)$

Paso 3.3

Sustituye $2$ en $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 3 {(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (2) = 3 \cdot 32 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $32$ .

$f (2) = 96 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 96 - 10 \cdot 16 + 1$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $16$ .

$f (2) = 96 - 160 + 1$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $160$ de $96$ .

$f (2) = - 64 + 1$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 64$ y $1$ .

$f (2) = - 63$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 63$ .

$- 63$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ es $(2, - 63)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, - 63)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 1), (2, - 63)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 60 {(- 0.1)}^{3} - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 60 \cdot - 0.001 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $60$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 \cdot 0.01$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 1.2$

Paso 5.2.2

Resta $1.2$ de $- 0.06$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.26$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1.26$ .

$- 1.26$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 1.26$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $60$ por $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120 {(1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120$

Paso 6.2.2

Resta $120$ de $60$ .

$f'' (1) = - 60$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 60$ .

$- 60$

Paso 6.3

En $1$ , la segunda derivada es $- 60$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 60 {(2.1)}^{3} - 120 {(2.1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2.1) = 60 \cdot 9.261 - 120 {(2.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $60$ por $9.261$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 {(2.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 \cdot 4.41$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 120$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 529.2$

Paso 7.2.2

Resta $529.2$ de $555.66$ .

$f'' (2.1) = 26.46$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $26.46$ .

$26.46$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $26.46$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(2, - 63)$ .

$(2, - 63)$

Paso 9