Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{6} - 11 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{6}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $6$ por $7$ .

$f' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 \frac{d}{d x} x^{5}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 (5 x^{4})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 11$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 55 x^{4}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $42 x^{5} - 55 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (42 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $42 x^{5}$ con respecto a $x$ es $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 42 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $5$ por $42$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 55$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 55 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 55 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 (4 x^{3})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 55$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 220 x^{3}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $10 x^{3}$ de $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $10 x^{3}$ de $210 x^{4}$ .

$10 x^{3} (21 x) - 220 x^{3} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $10 x^{3}$ de $- 220 x^{3}$ .

$10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $10 x^{3}$ de $10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22)$ .

$10 x^{3} (21 x - 22) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$21 x - 22 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $21 x - 22$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $21 x - 22$ igual a $0$ .

$21 x - 22 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $21 x - 22 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $22$ a ambos lados de la ecuación.

$21 x = 22$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $21 x = 22$ por $21$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $21 x = 22$ por $21$ .

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $21$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{22}{21}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $10 x^{3} (21 x - 22) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{22}{21}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 7 {(0)}^{6} - 11 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 7 \cdot 0 - 11 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 11 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 11 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 11$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{22}{21}$ en $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{22}{21}$ en la expresión.

$f (\frac{22}{21}) = 7 {(\frac{22}{21})}^{6} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{22^{6}}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $22$ a la potencia de $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $21$ a la potencia de $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{85766121}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $7$ de $85766121$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 (12252303)}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 \cdot 12252303}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{22^{5}}{21^{5}}$

Paso 3.3.2.1.6

Eleva $22$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{5153632}{21^{5}}$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $21$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 (\frac{5153632}{4084101})$

Paso 3.3.2.1.8

Multiplica $- 11 (\frac{5153632}{4084101})$ .

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Paso 3.3.2.1.8.1

Combina $- 11$ y $\frac{5153632}{4084101}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 11 \cdot 5153632}{4084101}$

Paso 3.3.2.1.8.2

Multiplica $- 11$ por $5153632$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 56689952}{4084101}$

Paso 3.3.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- \frac{56689952}{4084101}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12252303$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{56689952}{4084101}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{4084101 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $4084101$ por $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{12252303}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 56689952 \cdot 3}{12252303}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $- 56689952$ por $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 170069856}{12252303}$

Paso 3.3.2.5.2

Resta $170069856$ de $113379904$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{- 56689952}{12252303}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{22}{21}) = - \frac{56689952}{12252303}$

Paso 3.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{56689952}{12252303}$ .

$- \frac{56689952}{12252303}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{22}{21}$ en $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ es $(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22}{21}) \cup (\frac{22}{21}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 210 {(- 0.1)}^{4} - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.1) = 210 \cdot 0.0001 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $210$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 \cdot - 0.001$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 220$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 + 0.22$

Paso 5.2.2

Suma $0.021$ y $0.22$ .

$f'' (- 0.1) = 0.241$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.241$ .

$0.241$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.241$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{22}{21})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{523809}$ en la expresión.

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 {(0.\overline{523809})}^{4} - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $0.\overline{523809}$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 \cdot 0.07528241 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $210$ por $0.07528241$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $0.\overline{523809}$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 \cdot 0.14372098$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 220$ por $0.14372098$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 31.6186157$

Paso 6.2.2

Resta $31.6186157$ de $15.80930785$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = - 15.80930785$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 15.80930785$ .

$- 15.80930785$

Paso 6.3

En $0.\overline{523809}$ , la segunda derivada es $- 15.80930785$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \frac{22}{21})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{22}{21})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{22}{21}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1\overline{476190}$ en la expresión.

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 {(1.1\overline{476190})}^{4} - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1\overline{476190}$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 \cdot 1.73456664 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $210$ por $1.73456664$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $1.1\overline{476190}$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 \cdot 1.51144811$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 220$ por $1.51144811$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 332.51858546$

Paso 7.2.2

Resta $332.51858546$ de $364.25899589$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 31.74041043$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $31.74041043$ .

$31.74041043$

Paso 7.3

En $1.1\overline{476190}$ , la segunda derivada es $31.74041043$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{22}{21}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{22}{21}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ .

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Paso 9