Cálculo Ejemplos

$g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (10)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 x^{3} - 18 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 36 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 36 x$ .

$36 x^{2} - 36 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 36 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 36 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $36 x$ de $36 x^{2} - 36 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $36 x$ de $36 x^{2}$ .

$36 x (x) - 36 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $36 x$ de $- 36 x$ .

$36 x (x) + 36 x (- 1) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $36 x$ de $36 x (x) + 36 x (- 1)$ .

$36 x (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $36 x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$g (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{3} + 10$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$g (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{3} + 10$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$g (0) = 0 - 6 {(0)}^{3} + 10$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$g (0) = 0 - 6 \cdot 0 + 10$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$g (0) = 0 + 0 + 10$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$g (0) = 0 + 10$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $10$ .

$g (0) = 10$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$ es $(0, 10)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 10)$

Paso 3.3

Sustituye $1$ en $g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$g (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{3} + 10$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$g (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{3} + 10$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$g (1) = 3 - 6 {(1)}^{3} + 10$

Paso 3.3.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$g (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 10$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$g (1) = 3 - 6 + 10$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $6$ de $3$ .

$g (1) = - 3 + 10$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$g (1) = 7$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $g (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 10$ es $(1, 7)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, 7)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 10), (1, 7)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$g'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 36 \cdot - 0.1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$g'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 36 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.01$ .

$g'' (- 0.1) = 0.36 - 36 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $- 0.1$ .

$g'' (- 0.1) = 0.36 + 3.6$

Paso 5.2.2

Suma $0.36$ y $3.6$ .

$g'' (- 0.1) = 3.96$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3.96$ .

$3.96$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $3.96$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $g'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$g'' (\frac{1}{2}) = 36 {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$g'' (\frac{1}{2}) = 36 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$g'' (\frac{1}{2}) = 36 (\frac{1}{2^{2}}) - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$g'' (\frac{1}{2}) = 36 (\frac{1}{4}) - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$g'' (\frac{1}{2}) = 4 (9) (\frac{1}{4}) - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$g'' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (9 (\frac{1}{4})) - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$g'' (\frac{1}{2}) = 9 - 36 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$g'' (\frac{1}{2}) = 9 + 2 (- 18) (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$g'' (\frac{1}{2}) = 9 + 2 \cdot (- 18 (\frac{1}{2}))$

Paso 6.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$g'' (\frac{1}{2}) = 9 - 18$

Paso 6.2.2

Resta $18$ de $9$ .

$g'' (\frac{1}{2}) = - 9$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 9$ .

$- 9$

Paso 6.3

En $\frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $- 9$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $g'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$g'' (1.1) = 36 {(1.1)}^{2} - 36 \cdot 1.1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$g'' (1.1) = 36 \cdot 1.21 - 36 \cdot 1.1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $1.21$ .

$g'' (1.1) = 43.56 - 36 \cdot 1.1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $1.1$ .

$g'' (1.1) = 43.56 - 39.6$

Paso 7.2.2

Resta $39.6$ de $43.56$ .

$g'' (1.1) = 3.96$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $3.96$ .

$3.96$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $3.96$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $g'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 10), (1, 7)$ .

$(0, 10), (1, 7)$

Paso 9